因为直径的圆周角为直角，90°的圆周角所对的弦是直径，∴圆内接直角三角形的条件：一边为直径.所以说不是任意的三角形都是直角三角形
设三角形两直角边分别为a、b，斜边为c（也就是圆的直径），S为三角形的面积
由勾股定理：a^2+b^2=c^2
所求量的平方=（a+b）^2=a^2+b^2+2ab=c^2+2ab=c^2+4S
其中c为定值，要求所求量取最大值，即S要取最大值
S也等于二分之一圆的直径乘以直角顶点到对边的距离，距离越大S也越大，显然顶点到对边的垂足过圆心时最大，此时为等腰直角三角形
圆内直角三角形定理
圆是一个轴对称的图形，同样，它也是一个中心对称的图形。在几何问题中，圆经常与其他图形结合成为考题，譬如圆与直角三角形问题。
圆中有很多垂直条件，比如直径所对的圆周角是直角，垂径定理可以得垂直，圆心和切点的连线与切线垂直，由此又可得到与直角三角形有关的性质，所以圆由于它的垂直条件，会经常和三角函数联系在一起，用三角函数来解决这些与圆有关的计算问题。
在同圆或等圆内，三角形的三个顶点均在同一个圆上的三角形叫做圆内接三角形。
性质
1、在同圆内，等边三角形将圆分成相等的三段弧。三角形的三个顶点为圆的三等分点。
2、三角形的一个角等于它所对的边与圆心相连所形成的夹角的一半
定理
三角形各边垂直平分线的交点，是外心。外心到三角形各顶点的距离相等。外心到三角形各边的垂线平分各边。
